引言
空间飞行器展开锁定机构是空间飞行器机构领域的一个重要组成部分[1-2]，在各类展开机构中[3-7]，仅STACER (the spiral tube and actuator for controlled extension and retraction)伸展机构在国外的航天器上已经有650多次在轨应用[8-13]，在1996--2015年间，美国航空航天局和欧洲航天局就有几十颗探测卫星采用了此类伸展机构，另外，因其质量轻、收拢包络尺寸小(安装面积小)、自驱动(减少对卫星平台能源、电控系统的需求)等特点，受到微小卫星的青睐，如美国航空航天局正在研制的TERSat、GOTHAM和CENEMA卫星均采用STACER作为主载荷的伸展机构[14-19].我国航天五院于2012年在电磁监测试验卫星上率先开始STACER伸展机构研制；近来，又成功将其应用于深空探测器领域.
STACER是一种由超长金属薄带材经冷加工制成螺旋管状伸展机构，按其使用方式，分成单次和可重复使用两种形式，分别如图 1和图 2(a)所示(摘自文献[11])，两种形式的主要区别在于可重复使用的STACER带有辅助展开装置，如图 2(b)所示.通常辅助装置由两组间隔一定距离的支撑轮组构成，其主要作用是对螺旋管提供横向支撑，并施加一组径向力，使钢带逐圈抱紧从而形成一定的刚度.
图 1 单次使用STACER
Figure 1 One-time application STACER
图 2 可重复使用STACER及其伸展辅助装置
Figure 2 Repeatable rollout STACER and its deployment assist device
从目前来看，关于STACER的力学、机械性能的理论分析方法以及研究文献非常少见，一是西方的技术封锁，二是其理论研究的难度. STACER的伸展过程中，薄壳的挠度达到其厚度的几百倍，是一个大挠度、大应变的非线性问题，并且，边界条件与研究对象持续变化，致使常用的非线性商业软件和数值方法无法直接应用.美国UCB以及MIT大学从20世纪70年代开展STACER的研究以来，至今尚未公开发表相应的理论与实验研究方法.在国内，吴江等[20-25]对一次性伸展机构的伸展特性进行了理论与实验研究，取得了一系列成果，根据展开段钢带螺旋角的变化规律提出了逐圈和同步展开模式，并给出了展开模式与螺旋角的依赖关系.针对展开过程中，钢带构型、长度不断变化，吴江等研究者将STACER的伸展过程视为一个动力学过程，应用多体动力学模型以及有限元方法有效地处理了这一问题，从最新的研究结果来看，对伸展位移至少可以准确地仿真到700 mm[20].实际上，从薄壳的物理、几何、平衡方程出发，利用有限元方法进行数值求解此类问题，其主要困难在于问题的强非线性[26-30]，并且还是一个动态问题，每增加一个伸展步长，都要求解一个"静态"非线性问题；同时，受钢带厚度(0.1 mm~0.15 mm)制约，钢带网格单元不能过疏，这又进一步加剧了数值仿真的困难.这里提出了一种利用势能极小原理，以螺旋管钢带的变形特性为基础，计算STACER伸展力的方法.首先，根据钢带的变形特性，构造出钢带恰当的可能变形函数空间；其次，找出钢带的主应变方向，并根据主应变计算钢带的变形能；最后，依据最小势能原理以及变分方法，给出满足边界条件的钢带真实的变形函数以及伸展力规律.
1 STACER的工作原理
对于图 1和图 2所示两种形式的STACER，当完全伸展或全收拢时，螺旋管的构型相同；完全收拢时钢带形状为柱面，完全伸展时呈柱面或小锥角锥面，取决于使用工况的实际要求.在两个柱面之间，钢带的形状由锥面过渡，这里也将其称为过渡段，如图 3所示.对于单次使用STACER，仅有过渡和收拢段；对于可重复使用STACER，螺旋管穿过约束轮组后可以认为钢带达到完全伸展状态.
图 3 螺旋管的变形过程
Figure 3 The deformation procedures of the spiral tube
与普通螺旋弹簧一样，螺旋管也是利用螺旋钢带的变形产生伸展力，但是钢带与弹簧丝的变形方式有着本质不同.弹簧丝主要变形是扭转，而钢带的变形主要是弯曲.为了说明这一点，通过钢带上的物质(或随体)标记线来考察钢带的变形，如图 4所示.其中图 4(a)、图 4(b)以及图 4(c)分别表示螺旋管在完全伸展、过渡以及完全收拢阶段的状态.这里将图 4(a)所示的钢带形状视为初始状态，在螺旋管上，分别沿柱(锥)面的母线方向和周向各刻画一组随体标记线，并将这两组标记线分别称为竖纹和横纹.当螺旋管沿轴向压缩时，竖纹由直线先变成锥面螺旋线，再变成柱面螺旋线；而横纹则是由圆变成锥面或柱面螺旋线.其中，竖纹曲率逐步增加，横纹曲率逐步减小.其他纹路也是一样，曲率随着螺旋管的形状的变化而变化，或者说每条纹路的弯曲程度都在变化，这一变化可以利用钢带形状函数求出.
图 4 钢带随体标记线的变形过程
Figure 4 The deformation of lines marked on the steel strip
对于两种形式的STACER，可以认为仅是过渡段不同，一种是变化的而另一种是固定的，这里将着重研究可重复使用STACER伸展力的计算方法.
2 钢带可能的形变函数空间
为了构造恰当的钢带可能变形函数空间，首先利用已有的几种规格的螺旋管及其收纳罐(圆杯状)试件，进行了螺旋管的收拢、伸展试验，以观测钢带形状的变化.结果表明钢带在过渡段形状为变参数锥面，在收拢和伸展段为柱面.考虑到在实际工程应用时，钢带材质以及螺旋管尺寸选型会有所变化，对上述结论在选型范围内的一般性进行了验证.为此，选用几种弹性模量、泊松比不同的材料，如塑料膜、铜板印刷纸、薄铝板、薄铜板以及普通薄钢板，制成多种尺寸规格的螺旋管进行实验，均得到了同样的结果；因此，这里将过渡段钢带可能变形函数空间取为变参数的锥面.
2.1 过渡段钢带曲面方程
尽管每段钢带都可以用锥面拟合，但除了锥角外还需给出锥面与钢带的贴合位置，直接用锥面方程描述钢带形状并不方便.考虑到锥面是一种可展直纹曲面，不失一般性，这里用可展直纹曲面方程，将过渡段钢带的形状函数写成如下形式
$
\boldsymbol{ r}(\theta ) = \boldsymbol{\rho}\left( \theta \right)\boldsymbol{\rho}_0 + z(\theta )\boldsymbol{ k} + \zeta
\boldsymbol{\chi} (\theta )
$
(1)
$
\dfrac{\boldsymbol{d}(\boldsymbol{\rho} \left( \theta \right)\boldsymbol{ \rho}_0 + z(\theta )\boldsymbol{ k})}{\boldsymbol{d}\theta } \cdot
\Big (\dfrac{\zeta \boldsymbol{d}\boldsymbol{ \chi }(\theta )}{\boldsymbol{d}\theta }\times \zeta \boldsymbol{ \chi }(\theta )\Big ) = {\bf 0}
$
(2)
其中，$\boldsymbol{\rho}_0 $和$\boldsymbol{
k}$分别为z轴和极坐标轴的单位方向矢量，极坐标轴与x轴夹角为$\theta $，如图 5所示. $\boldsymbol{\rho}\left( \theta
\right)\boldsymbol{\rho}_0 + z(\theta )\boldsymbol{ k}$表示的是直纹曲面的准线，这里将钢带中线取为准线；$\zeta \boldsymbol{\chi}
(\theta )$为直纹向量, 即锥面的母线，直纹与z轴(或螺旋管轴线)的夹角为$\gamma (\theta )$，这里称其为直纹锥角.方程(2)表示直纹矢量、中线的切线以及直纹的方向变化矢量三者共面.
图 5 钢带曲面几何参数
Figure 5 The geometric parameters of the steel strip
2.2 中线极径的可能函数空间
过渡段钢带中线为一条螺旋曲线，受支撑轮组和收纳仓约束，满足如下几何边界条件
$
\rho\left( {\theta _0 } \right) = R_0, \quad \rho\left( {\theta _1 } \right) = R_1
$
(3)
其中，$R_0 $和$R_{1} $分别为螺旋管在收纳仓和支撑轮组处的半径，$\theta
_0 $和$\theta _{1} $分别为过渡段的始、末极角.根据$R_0 $和$R_1$以及支撑轮组的高度h，可以构造一个锥角为$\alpha $的圆锥，如图 6所示，其母线方程为
$
\left( {R_0 - \rho_{\rm s} (\theta )} \right) /z(\theta ) = \tan \alpha
$
(4)
图 6 可能的中线函数
Figure 6 The possible middle line
通过摄动圆锥母线，中线的可能函数表示为
$
\rho(\theta ) =\rho_{\rm s} (\theta ) - a\sin \left[{{\pi (\rho_{\rm s} (\theta )-R_1 )} /{(R_0-R_1
)}} \right]
$
(5)
其中，a为待定参数.
2.3 直纹锥角的可能函数空间
在支撑轮组和收纳仓的约束下，螺旋管钢带的锥角在过渡段的两端均为零，故将锥角函数设成
$
\gamma \left( \theta \right) = b / (c - \theta )\sin [\pi (\theta-\theta _0 ) / (\theta _1-\theta _0 )]
$
(6)
式中, b, c以及$\theta _1 $均为摄动参数，其中，$\theta _1 -\theta _{0} $反映出过渡段中线极角的变化范围(或过渡段缠绕的总圈数), 参数c用于调整最大锥角出现的位置，参数b用于调整最大锥角幅值.
对于单次使用的STACER，由于没有轮组约束，螺旋管在伸展端的锥角不为零，而锥角变化率为零，因此，可将其锥角函数假设成
$
\gamma \left( \theta \right) = \dfrac{b}{c - \theta }\sin \left[{\dfrac{\pi (\theta-\theta _0
)}{2(\theta _1-\theta _0 )}} \right]
$
(7)
2.4 中线高度
从方程(1)和(2)可以看出，给定中线和锥角函数后，中线高度可以由方程(2)导出.由于求解此约束方程相对困难，按下述等价的条件导出中线高度：钢带曲面上任意两条相交的物质(随体)标记线，在交点处的切线之间的夹角一直保持不变.其力学含义则是钢带面内剪切变形可以忽略.
任选一段钢带，如图 7所示，设中线在C点处的单位切线向量为$\boldsymbol{ \tau }$，过C点的直纹向量为$\boldsymbol{ \chi
}(\theta )$，两单位向量的夹角为$\varphi \left( \theta \right)$，即
$
\boldsymbol{ \tau } \cdot \boldsymbol{ \chi }(\theta ) = \cos \varphi (\theta )
$
(8)
图 7 卷曲成锥面的钢带
Figure 7 Steel strip in cone surface
利用中线的矢量方程，其切线向量可以表示为
$
\boldsymbol{ \tau } = \dfrac{ \boldsymbol{d} \rho(\theta )}{\boldsymbol{d} s}\boldsymbol{ \rho}_0 + \rho(\theta )k\times \boldsymbol{ \rho}_0 + \dfrac{\boldsymbol{d}
z(\theta )}{\boldsymbol{d} s}\boldsymbol{ k}
$
(9)
直纹向量可表示为
$
\boldsymbol{ \chi }(\theta ) = \cos \gamma (\theta )\boldsymbol{ k} + \sin
\gamma (\theta )\boldsymbol{ r}_0
$
(10)
将方程(9)和式(10)代入式(8)可以得到
$
\dfrac{\boldsymbol{d} \rho(\theta )}{\boldsymbol{d} s} \sin \gamma (\theta ) + \dfrac{\boldsymbol{d} z(\theta )}{\boldsymbol{d} s}\cos \gamma (\theta ) =
\cos \varphi (\theta )
$
(11)
若要由式(11)解出中线高度$z(\theta )$，还需进一步给出$\varphi (\theta )$.为此，先将中线和C点的直纹视为两条随体标记线，然后再将图 7所示锥面展开成平面，如图 8所示.展开后两条标记线的夹角不变.
图 8 展成平面的钢带
Figure 8 Steel strip in flat surface
现在考察$\varphi (\theta )$的余角$\beta (\theta )$，即
$
\beta (\theta ) = \pi / 2 - \varphi (\theta )
$
(12)
将$\beta (\theta )$称为直纹扭角.直纹扭角与直纹锥角存在特定关系，参考图 8中的扇形omn，om与on夹角为$\Delta \beta (\theta )$，将omn视为一个锥角为$\gamma (\theta )$母线长度L的圆锥展开面的一部分，则弧线$mn$长度可以表示成$L\sin \gamma
\Delta \theta $或$L\Delta \beta (\theta )$，即两者相等，取极限可得
$
\boldsymbol{d}\beta (\theta ) / \boldsymbol{d}\theta = \sin \gamma (\theta )
$
(13)
因此，当锥角$\gamma (\theta )$由方程(5)给出后，将其代入方程(13)即可求得直纹扭角$\beta (\theta
)$，再由方程(12)求出$\varphi (\theta )$，最终可由方程(11)得到中线高度$z(\theta )$与中线极径的关系.直纹扭角的含义可以解释如下：当钢带变形后，在中线的任意点处，总有一条标记线成为直纹，记录这些标记线的位置后，再将钢带展成平面，就会发现，这些标记线与中线夹角沿中线变化，靠近完全收拢端，扭角为零，靠近伸展端，直纹的扭角等于螺旋管的螺旋角.
3 钢带变形能计算
3.1 钢带主应变方向
如第一节所述，钢带上任意一条随体标记线的曲率，随着钢带的变形而变化.当钢带从零应变的初始状态变化到某一形状时，在各方向的标记线中，曲率变化最大的标记线所处的方向上，钢带的应变最大，因此是一个主应变方向，另一个主应变方向与之正交.
为了描述最大主应变方向，将图 5(a)所示的一节螺旋管展开如图 9所示.在图 9中，设AB为任意一条随体标记线，与横纹EF夹角为$\psi $，AB上G点到标记线与中线交点C的距离为x.当螺旋管变形成锥面时，标记线AB随之变形成一条锥面螺旋线，G点处的曲率可以近似表示为
$
k_x = \cos ^2(\psi + \lambda (\theta ))/(r(\theta ) + x\sin \gamma (\theta ))
$
(14)
图 9 钢带随体标记线
Figure 9 The marked line on steel strip
其中，$\lambda (\theta )$为C点处的横纹切线与水平面的夹角，当螺旋管的锥角为零，或螺旋管为柱面时，$\lambda (\theta )$与直纹扭角$\beta (\theta )$相同；也就是说，螺旋管在轴向伸展或压缩时，如果形状一直保持柱面，则直纹与随体标记线的扭动转角一致.标记线AB在G点处的曲率随$\psi $角变化.当钢带完全伸展时，钢带呈柱面、横纹处于水平，因此有$\lambda (\theta ) = 0$，$\gamma (\theta ) = 0$，标记线AB退化为柱面螺旋线，其曲率为
$
k_1 = {\cos ^2\psi } /{R_1 }
$
(15)
从完全伸展状态压缩至在一般状态时，G处的曲率变化为
$
\delta k_x = k_x - k_1 = \dfrac{(r - \gamma x)\cos ^2\psi - R_1 \cos ^2 (\psi
+ \lambda (\theta ))}{(r - \gamma x)R_1 }
$
(16)
将式(16)对$\psi $求导，并令该导数等于零，得到
$
(r - \gamma x)\sin 2\psi - R_1 \sin 2 (\psi + \lambda (\theta )) = 0
$
(17)
利用方程(17)可以求出使曲率变化取极值的两个方向$\psi _1 $和$\psi _1 + \pi / 2$，即G点处的两个主应变方向，并且这两个方向正交.将$\psi _1 $和$\psi _1 + \pi / 2$分别代入式(14)，得到
$
k_x = \cos ^2(\psi _1 + \lambda (\theta ))/(r(\theta ) +
x\sin \gamma (\theta )) \\
k_{x \bot } = \sin ^2(\psi _1 + \lambda (\theta )) /(r(\theta ) +
x\sin \gamma (\theta ))
$
(18)
G点处两个主应变沿厚度方向的分布分别为
$
\varepsilon _x = \delta k_x z\, , \quad \varepsilon _{x \bot } = \delta k_{x
\bot } z
$
(19)
其中，z为钢带沿厚度方向到中性层的距离.
在特殊情况下，如果螺旋管在伸展和收拢状态下柱面半径满足$R_0 = R_1 / \cos
\beta _0 $，则$\psi _1 $随螺旋管的螺旋角$\beta _0 $的变化，可以由下列拟合公式给出
$
\psi _1 = 0.484\beta _0 - 0.688
$
(20)
3.2 变形能密度
按钢带曲面函数，以及式(19)得到钢带上各点的主应变后，用应变分量表示的钢带变形能为
$
V_{\rm E} = \dfrac{E}{2(1 + \mu )}\iiint \Big[\dfrac{\mu }{1- 2\mu }(\varepsilon _x + \varepsilon _{ \bot x} )^2 + \\
\qquad (\varepsilon _{x}^2 + \varepsilon _{ \bot x}^2 )\Big] \boldsymbol{d} x\boldsymbol{d} y\boldsymbol{d} z
$
(21)
其中，E和$\mu $分别为钢带的弹性模量和泊松比.
4 伸展力求解
4.1 伸展力计算
一般情况下，伸展力的计算过程如下：(1)确定a, b, c和$\theta _{1} $ (或$\theta _{1} - \theta _{0}
$)四个参数在几何约束下的取值范围，约束条件包括钢带收纳仓半径、支撑轮组的高度和半径；(2)在上述参数取值范围内计算并搜索最小变形能，由此确定钢带的初始形状函数；(3)给定伸展长度增量，在初始或上一步形状函数的较小邻域内，计算并搜索出最小变形能，确定新的形状函数；(4)根据变形能梯度，利用虚功原理计算伸展力.
上述步骤中，第二步计算，即，确定钢带初始形状的计算量最大.在后续的计算中，仅需在上一个形状函数的较小邻域内搜索，即可得到当前的钢带形状函数.
如果假设完全伸展时，钢带的初始应力为零，完全收拢时钢带呈柱面，且$R_0 = {R_1
} /{\cos \beta }_0 $，则伸展初段的伸展力与螺旋角的关系可以按下式估计
$
F = \dfrac{Ewt^3}{24(1 + \mu )R_1^3 \sin \beta _{0} } \Bigg [\dfrac{\mu (1-
\cos \beta _{0} )^2}{1- 2\mu } + \\
\qquad (\cos ^2\psi _{1} -
\cos ^2(\psi _{1} + \beta _{0} )\cos \beta _{0} )^2 + \\
\qquad (\sin ^2\psi _{1} -\sin ^2(\psi _{1} + \beta _{0} )\cos \beta _{0} )^2 \Bigg]
$
(22)
其中，w和t分别为钢带的宽度和厚度，$\beta _{0} $为螺旋管的螺旋角，$\psi_{1} $可由式(19)计算，或逐点求出.
4.2 算例
取参数w=126 mm，t=0.12 mm，$\beta _{0} = 61^ \circ $，$R_1
$分别取8.1 mm和9.1 mm，$R_0 = R_1 / \cos \beta _0 $，螺旋杆伸展到4 m时，伸展力随着伸展长度的变化如图 10所示.其中，伸展长度为钢带完全伸展段长度，即从支撑轮组以上开始算起.伸展力的变化在伸展初段接近线性.
图 10 伸展力随伸展长度的变化
Figure 10 The deploying force depended on deploying length
为了与现有的其他计算结果进行比较，与文献[7]中的算例进行了对比.钢带参数：w=126 mm, t=0.12 mm, $R_{1}=8$ mm，计算在伸展长度300 mm处伸展力随螺旋角的变化.为了对比，这里将支撑轮组净高度设成300 mm，同时，锥角按式(7)计算，并由此得出直纹扭角以及最大主应力方向，最后按式(22)进行计算；本方法和文献[7]中的式(8)给出的计算结果分别如图 11中的实线和虚线所示.两种计算结果仅在螺旋角接近90$^{\circ}$时，出现小于10%的偏差，在常用的螺旋角范围内(小于70$^{\circ}$)基本吻合.
图 11 伸展力随随螺旋角的变化
Figure 11 The deploying force depended on spiral angle
5 结论
利用薄壁钢带螺旋管伸展过程的变形特性, 构造了钢带形状恰当的可能函数空间, 并以此找出最大主应变方向和由主应变表示的钢带变形能, 再利用最小势能原理确定钢带的实际形状、变形能以及伸展力.由于所构造的形状函数以及最大主应变方向，在完全收拢与完全展开状态下有准确的解析解，因此，所构造的形状函数空间的恰当性以及准确性得已验证.与直接求解大应变大挠度弹性薄板的完全方程的数值方法相比，计算过程得以简化.由于钢带形状函数为借助少量待定参数的解析式，为STACER伸展力特性、伸展力对结构参数的依赖关系的定量分析提供了方便条件.
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